Question

已知sin（x+

π

4

）=

4

5

．
（1）求cos（x-

π

4

）的值；
（2）设

π

4

＜x＜

7π

4

，求：
①cos（x+

π

4

）的值；
②

sin2x-2sin2x

1+tanx

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（1）原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，把已知等式代入计算即可求出值；
（2）①由x的范围求出x+

π

4

的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（x+

π

4

）的值即可；
②由第一问及第二问第一小题的结果，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式求出sinx与cosx的值，原式变形后代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵sin（x+

π

4

）=

4

5

，
∴cos（x-

π

4

）=cos[（x+

π

4

）-

π

2

]=cos[

π

2

-（x+

π

4

）]=sin（x+

π

4

）=

4

5

；
（2）①∵

π

4

＜x＜

7π

4

，sin（x+

π

4

）=

4

5

＞0，
∴

π

2

＜x+

π

4

＜π，
∴cos（x+

π

4

）=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

；
②∵cos（x+

π

4

）=

2

2

（cosx-sinx）=-

3

5

，即cosx-sinx=-

3 2

5

，
sin（x+

π

4

）=

2

2

（sinx+cosx）=

4

5

，即sinx+cosx=

4 2

5

，
解得：sinx=

7 2

10

，cosx=

2

10

，
则原式=

2sinxcosx-2sin2x

1+ sinx cosx

=

2sinxcos2x-2sin2xcosx

sinx+cosx

=

2sinxcosx(cosx-sinx)

cosx+sinx

=

2× 7 2 10 × 2 10 ×(- 3 2 5 )

4 2 5

=-

21

100

．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．