【题目】已知函数f(x)=aln(x+2)﹣x2在(0,1)内任取两个实数p,q,且p>q,若不等式 恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,24]
B.(﹣∞,12]
C.[12,+∞)
D.[24,+∞)
【答案】D
【解析】解:根据题意,由 ,变形可得得f(p+1)﹣f(q+1)>2(p﹣q), 则f(p+1)﹣2(p+1)>f(q+1)﹣2(q+1),
令g(x)=f(x)﹣2x,则有g(p+1)>r(q+1)
又由实数p、q∈(0,1),且p>q,
所以函数g(x)=f(x)﹣2x在(1,2)上单调递增,
从而 在x∈(1,2)上恒成立
即a≥[(x+2)(2x+2)],亦即a≥[(x+2)(2x+2)]max
又函数y=(x+2)(2x+2)=2(x2+3x+2)在x∈[1,2]上单调递增
所以[(x+2)(2x+2)]max=24,
所以a≥24;
故选:D.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识,掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集,以及对利用导数研究函数的单调性的理解,了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,D为AB的中点,且A1D与底面ABC所成角的正切值为2,则三棱锥A1﹣ACD外接球的表面积为 .
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【题目】a,b为正数,给出下列命题:
①若a2﹣b2=1,则a﹣b<1;
②若 ﹣ =1,则a﹣b<1;
③ea﹣eb=1,则a﹣b<1;
④若lna﹣lnb=1,则a﹣b<1.
期中真命题的有 .
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【题目】已知函数 ,(e为自然对数的底数,a,b∈R),若f(x)在x=0处取得极值,且x﹣ey=0是曲线y=f(x)的切线.
(1)求a,b的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数 ,若函数h(x)=g(x)﹣cx2为增函数,求实数c的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,M,N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行四边形.
(1)求证:MN∥平面PAD.
(2)若PA=AD=2a,MN与PA所成的角为30°.求MN的长.
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【题目】某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和 的概率分布及数学期望.
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