Question

【题目】已知函数f（x）=aln（x+2）﹣x2在（0，1）内任取两个实数p，q，且p＞q，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（﹣∞，24]
B.（﹣∞，12]
C.[12，+∞）
D.[24，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：根据题意，由 ，变形可得得f（p+1）﹣f（q+1）＞2（p﹣q）， 则f（p+1）﹣2（p+1）＞f（q+1）﹣2（q+1），
令g（x）=f（x）﹣2x，则有g（p+1）＞r（q+1）
又由实数p、q∈（0，1），且p＞q，
所以函数g（x）=f（x）﹣2x在（1，2）上单调递增，
从而 在x∈（1，2）上恒成立
即a≥[（x+2）（2x+2）]，亦即a≥[（x+2）（2x+2）]max
又函数y=（x+2）（2x+2）=2（x2+3x+2）在x∈[1，2]上单调递增
所以[（x+2）（2x+2）]max=24，
所以a≥24；
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的性质的相关知识，掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．