(2)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求体对角线BD1与面对角线B1C的距离.
(1)证明:∵,所以.由于CA⊥AB,BD⊥AB,∴,.因此.?
(2)解:先找一个向量n,它既与BD1垂直,又与B1C垂直.设,其中λ、μ为待定的数.
由=-a2-λa2+μa2=-a2(1+λ-μ)=0,∴1+λ-μ=0.
又由
=-a2-μa2=0,∴1+μ=0.
于是解得μ=-1,λ=-2,∴,
.
又BC是联结这两条异面直线BD1与B1C上的任意点的线段,由第(1)题知所求距离为
.
启示:(1)在以上推导中,我们已暗中假定了n的方向是由l1上的点A指向l2上的点B,而的方向也是由l1上的点C指向l2上的点D,这样求得是正值.如果n指向与指向不同,则是负值,所以一般地就写成.又如果n不是单位向量,则.
(2)、、有着基底的作用,我们将BD1与B1C的公垂线段向量n用这组基底来表示.因为相差一个常数因子不影响其公垂性,所以设定了,使其只含有两个待定常数,这样就方便多了.
科目:高中数学 来源: 题型:
x2 |
a2 |
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(2)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求体对角线BD1与面对角线B1C的距离.?
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