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(1)设l1l2是两条异面直线,其公垂线段AB上的单位向量为n,又CD分别是l1l2上任意一点,求证:;

(2)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,求体对角线BD1与面对角线B1C的距离.

(1)证明:∵,所以.由于CAABBDAB,∴,.因此.?

 (2)解:先找一个向量n,它既与BD1垂直,又与B1C垂直.设,其中λ、μ为待定的数.

=-a2a2a2=-a2(1+λ-μ)=0,∴1+λ-μ=0.

又由

=-a2a2=0,∴1+μ=0.

于是解得μ=-1,λ=-2,∴,

.

BC是联结这两条异面直线BD1B1C上的任意点的线段,由第(1)题知所求距离为

.

启示:(1)在以上推导中,我们已暗中假定了n的方向是由l1上的点A指向l2上的点B,而的方向也是由l1上的点C指向l2上的点D,这样求得是正值.如果n指向与指向不同,则是负值,所以一般地就写成.又如果n不是单位向量,则.

(2)有着基底的作用,我们将BD1B1C的公垂线段向量n用这组基底来表示.因为相差一个常数因子不影响其公垂性,所以设定了,使其只含有两个待定常数,这样就方便多了.


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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=
2
2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,
3
),点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设l1,l2是过点G(
3
2
,0)且互相垂直的两条直线,l1交E于A,B两点,l2交E于C,D两点,求l1的斜率k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,设AB,CD的中点分别为M,N,试问直线MN是否恒过定点?若经过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由.

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2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,
3
),点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设l1,l2是过点G(
3
2
,0)且互相垂直的两条直线,l1交E于A、B两点,l2交E于C、D两点,求l1的斜率k的取值范围;
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(2)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,求体对角线BD1与面对角线B1C的距离.?

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