Question

设向量

i

，

j

为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量

a

=（x+1）

i

+y

j

，

b

=（x-1）

i

+y

j

，且|

a

|-|

b

|=1，则满足上述条件的点P（x，y）的轨迹方程是

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x≥0）

．

Answer 1

分析：由向量的坐标求出两个向量的坐标表示式，然后代入|a|-|b|=1，整理后观察发现，它表示的是到两个定点的距离之差为1的点的轨迹，由双曲线的定义知，P点的轨迹是以（-1，0）和（1，0）为焦点的双曲线的右支，由定义写出方程即可．

解答：解：∵

a

=（x+1）

i

+y

j

，

b

=（x-1）

i

+y

j

，
∴|

a

|-|

b

|=

(x+1)2+y2

-

(x-1)2+y2

=1，
满足上述条件的点P（x，y）的轨迹是以（-1，0）和（1，0）为焦点的双曲线的右支，
∴c=1，2a=1，
∴b2=c2-a2=1-

1

4

=

3

4

，
∴方程是

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x≥0）．
故答案为：

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x≥0）．

点评：本题考查向量的坐标表示及向量的模的计算公式，双曲线的定义，综合性较强，知识点覆盖广阔，是一道好题．易错点是容易忽视x的取值范围．