Question

设函数f（x）=-x³+mx²+x，g（x）=mx²-x+c，F（x）=xf（x）．
（Ⅰ） 若函数y=f（x）在x=2处有极值，求实数m的值；
（Ⅱ） 试讨论方程y=F′（x）=g（x）的实数解的个数；
（Ⅲ）记函数y=G（x）的导称函数G′（x）在区间（a，b）上的导函数为G′′（x），若在（a，b）上G′′（x）＞0恒成立，则称函数G（x）（a，b）上为“凹函数”．若存在实数m∈[-2，2]，使得函数F（x）在（a，b）上为“凹函数”，求b-a最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数
∵函数y=f（x）在x=2处有极值，
∴
∴m=；
（Ⅱ） 由题意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-x³+mx²+x==mx²-x+c
，即
令，∴h′（x）=-x²+4
令h′（x）=-x²+4＞0，可得-2＜x＜2；令h′（x）=-x²+4＜0，可得x＜-2，或x＞2；
∴函数的单调增区间为（-2，2），单调减区间为（-∞，-2），（2，+∞）
∴x=-2时，函数取得极小值为；x=2时，函数取得极大值为
∴当极小值大于0或极大值小于0，即或，即或时，方程有唯一解；
当极小值或极大值等于0，即时，方程有两个解；
当极小值小于0且极大值大于0，即时，方程有三个解；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知F′（x）=，∴F″（x）=-x²+mx+3
令F″（x）＞0，∴-x²+mx+3＞0，∴x²-mx-3＜0
要使存在实数m∈[-2，2]，使得函数F（x）在（a，b）上为“凹函数”，则b-a取得最大时，b，a是方程x²-mx-3=0的根，∴b+a=m，ba=-3
∴（b-a）²=m²+12
∴b-a最大值为．
分析：（Ⅰ）求导函数，利用函数y=f（x）在x=2处有极值，可得，从而可求实数m的值；
（Ⅱ） 由题意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-x³+mx²+x==mx²-x+c
，即，构造函数，确定函数的单调区间，从而可得函数的极值，进而分类讨论，即可得到方程y=F′（x）=g（x）的实数解的个数；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知F′（x）=，所以F″（x）=-x²+mx+3，利用新定义，即可求得b-a最大值．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的极值，函数的单调性，考查方程解的讨论，同时考查新定义，综合性较强．