Question

【题目】下面给出四个命题的表述： ①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）恒过定点（﹣3，3）；
②线段AB的端点B的坐标是（3，4），A在圆x2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程 +（y﹣2）2=1
③已知M={（x，y）|y= }，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠，则b∈[﹣ ， ]；
④已知圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0，b＞0，c＞0）与x轴相交，与y轴相离，则直线ax+by+c=0与直线x+y+1=0的交点在第二象限．
其中表述正确的是（ （填上所有正确结论对应的序号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①直线（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）得m（x+3）+3x+4y﹣3=0， 由 得 ，即直线恒过定点（﹣3，3）；故①正确，
②设AB的中点M（x，y），A（x1 ， y1），
又B（3，4），由中点坐标公式得： ，
即 ．
∵点A在圆x2+y2=4上运动，
∴ ．
即（2x﹣3）2+（2y﹣4）2=4，整理得： +（y﹣2）2=1．
∴线段AB的中点M的轨迹为 +（y﹣2）2=1，故②正确，
③集合M表示圆心为原点，半径为1的上半圆，集合N表示直线y=x+b，如图所示，
当直线y=x+b过A点时，把A（1，0）代入得：b=﹣1；
当直线y=x+b与圆相切，且切点在第二象限时，
圆心到直线的距离d=r，即 =1，即b= （负值舍去），
则M∩N≠时，实数b的范围是[﹣1， ]．故③错误，
④解：由圆C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圆心坐标为（b，c），半径r=a，
∵圆C与x轴相交，与y轴相离，
∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，
联立两直线方程得： ，
由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，
整理得：（b﹣a）y=a﹣c，
解得：y= ，
∵﹣a＞0，a﹣c＞0，
∴ ＞0，即y＞0，
∴x=﹣y﹣1＜0，
则两直线的交点在第二象限．故④正确，
所以答案是：①②④
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．