Question

设数列的各项均为正数，其前n项的和为，对于任意正整数m,n, 恒成立.
(Ⅰ)若=1,求及数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求证:数列是等比数列.

Answer 1

(Ⅰ) ， ， ；(Ⅱ)参考解析

试题分析：(Ⅰ)通过令，可求得.同理可以求出.由于所给的等式中有两个参数m,n.所以以一个为主元，让另一个m=1,和m=2取特殊值通过消去即可得到一个关于与的递推式.从而可求出的通项式，从而通过，可求出通项.但前面两项要验证是否符合.
(Ⅱ)因为已知，所以令.即可求得与的关系式.再利用.又得到了一个关于与的关系式.从而可得与的关系式.又根据与.可求出.再根据及.即可求出结论.最后要验证前两项是否成立.
试题解析：（1）由条件，得 ①
在①中，令，得 ②
令，得 ③
③/②得，记，则数列是公比为的等比数列。
④
时，， ⑤
④-⑤，得，当n≥3时，{}是等比数列.
在①中，令，得，从而，则，所以.
又因为，所以    2分
在①中，令，得，则⑥
在①中，令，得，则⑦
由⑥⑦解得：                     6分
则，由
得
又，也适应上式，所以.        8分
（2）在①中，令，得，则，所以；
在①中，令，得，则，所以，则，；代入式，得           12分
由条件得
又因,所以
故，
因为，也适应上式，所以
所以数列是等比数列．                        14分