Question

设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.

Y

 

y2=2px

B

 

 

 

 

X

Q(2p,0)

O

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由题意，直线AB不能是水平线，  故可设直线方程为：. 　　  又设，则其坐标满足 　　  消去x得  　　  由此得   　　  　　  因此. 　　  故O必在圆H的圆周上. 　　  又由题意圆心H（）是AB的中点，故 　　  　　  由前已证，OH应是圆H的半径，且. 　　  从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小. 　　  此时，直线AB的方程为：x=2p. 　　  解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p 　　  又设，则其坐标满足 　　  分别消去x，y得 　　  故得A、B所在圆的方程 　　  明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上， 　　  又知A、B中点H的坐标为 　　  故 　　  而前面圆的方程可表示为 　　  故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）. 　　  又， 　　  故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p. 　　  解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上 　　  又直径|AB|= 　　  上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小. 　　  此时直线AB的方程为x=2p.