分析:本题如利用“几何法”,则通过“平移变换”将异面直线角化归为三角形的内角,由解三角形的方法求之,凡“点面距离”可利用等积法求之,至于二面角,则通过“作-证-算”三步曲求得;本题如利用“向量法”,则建立适当的空间直角坐标系,写出各点坐标,再根据公式而求之。
方法一:(1)过点G作GE∥CD交AD的延长线于点E,连PE,则∠PGE是异面直线PG与CD所成的角,,则由条件得GE=2a,PG=3a,
cos ∠PGE=
,所以异面直线PG与CD所成角等于
;
(2)设h,则利用等积法知
,在△PBG中,PB=
,PG=3a,BG=
,
,得
,又在△CBG中,
,从而由
得
;
(3)作CF⊥AC交PG于F,作FH⊥BG交BG于H,连CH,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC,所以PA∥CG,得CG⊥平面ABCD,由三垂线定理得∠FHC是二面角P-BG-C的平面角,设
,则由△CGF∽△AGP得
,
在△CBG中
,得
所以
,从而
,所以二面角P-BG-C的取值范围是
。
方法二:建立如图所示的直角坐标系,
则A(0,0,O、0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a)。
由条件得G(2 a ,2 a ,0),
,
所以
,
所以异面直线PG与CD所成角等于
;
(2)设平面PBG的法向量为
因
,
所以由
得
,即
又
,
所以点C到平面PBG的距离为
;
由条件设G(t,t,0), 其中
,平面PBG的法向量为
因
,
,所以由
得
,
即
而平面CBG的法向量
,
所以
,因为
,所以
,
易知二面角P-BG-C的平面角是锐角,所以二面角P-BG-C的平面角等于
,所以二面角PP-BG-C的取值范围是
。
点评:本题主要考查异面直线所成角的空间想象能力,利用体积法求点面距离的运算能力,二面角的估算能力,第(3)问有机的将函数的值域与立体几何结合,较好地考查学生综合分析与解决问题的能力.