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在边长为a的正方形ABCD所在平面外取一点P,使PA⊥平面ABCD,且PA=AB,在AC的延长线上取一点G。 
(1)若CG=AC,求异面直线PG与CD所成角的大小;
(2)若CG=AC,求点C到平面PBG的距离;

(3)当点G在AC的延长线上运动时(不含端点C),求二面角P-BG-C的取值范围。

(1)(2)(3)二面角P-BG-C的取值范围是

分析:本题如利用“几何法”,则通过“平移变换”将异面直线角化归为三角形的内角,由解三角形的方法求之,凡“点面距离”可利用等积法求之,至于二面角,则通过“作-证-算”三步曲求得;本题如利用“向量法”,则建立适当的空间直角坐标系,写出各点坐标,再根据公式而求之。
方法一:(1)过点G作GE∥CD交AD的延长线于点E,连PE,则∠PGE是异面直线PG与CD所成的角,,则由条件得GE=2a,PG=3a,

cos ∠PGE=,所以异面直线PG与CD所成角等于
(2)设h,则利用等积法知,在△PBG中,PB=,PG=3a,BG=,得,又在△CBG中,,从而由
(3)作CF⊥AC交PG于F,作FH⊥BG交BG于H,连CH,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC,所以PA∥CG,得CG⊥平面ABCD,由三垂线定理得∠FHC是二面角P-BG-C的平面角,设,则由△CGF∽△AGP得
在△CBG中,得
所以,从而

,所以二面角P-BG-C的取值范围是
方法二:建立如图所示的直角坐标系,

则A(0,0,O、0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a)。
由条件得G(2 a ,2 a ,0),

所以
所以异面直线PG与CD所成角等于
(2)设平面PBG的法向量为
所以由,即
所以点C到平面PBG的距离为
由条件设G(t,t,0), 其中,平面PBG的法向量为
,所以由
而平面CBG的法向量
所以,因为,所以
易知二面角P-BG-C的平面角是锐角,所以二面角P-BG-C的平面角等于,所以二面角PP-BG-C的取值范围是
点评:本题主要考查异面直线所成角的空间想象能力,利用体积法求点面距离的运算能力,二面角的估算能力,第(3)问有机的将函数的值域与立体几何结合,较好地考查学生综合分析与解决问题的能力.
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(本小题满分12分)
如图,正三棱锥的三条侧棱两两垂直,且长度均为2.分别是的中点,的中点,过作平面与侧棱或其延长线分别相交于,已知
(1)求证:⊥平面
(2)求二面角的大小。

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在三棱锥中,,.
(1)  求三棱锥的体积;
(2)  证明:;
(3)  求异面直线SB和AC所成角的余弦值。

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如图6,正方形所在平面与圆所在平面相交于,线段为圆的弦,垂直于圆所在平面,垂足是圆上异于的点,,圆的直径为9.
(1)求证:平面平面
(2)求二面角的平面角的正切值.

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(本小题满分13分)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1
底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1F为棱BB1的中点,
M为线段AC1的中点.  (1)求证:直线MF∥平面ABCD
(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1
(3)求平面AFC1与与平面ABCD所成二面角的大小.

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已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=4,AA1=8,E、F分别为AD和CC1的中点,O1为下底面正方形的中心。
(Ⅰ)证明:AF⊥平面FD1B1
(Ⅱ)求异面直线EB与O1F所成角的余弦值;               

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(本小题满分14分)如图5所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,
(1)求线段PD的长;
(2)若,求三棱锥P-ABC的体积。

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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点。
(1)求异面直线AE与A1C所成的角;
(2)若G为C1C上一点,且EG⊥A1C,试确定点G的位置;
(3)在(2)的条件下,求二面角A1-AG-E的大小(文科求其正切值)。

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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1AD1A1D相交于点O

(1)判断AD1与平面A1B1CD的位置关系,并证明;
(2)求直线AB1与平面A1B1CD所成的角.

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