【题目】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表:(单位:人)
几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
附表及公式
P(k2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= .
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为 X,求 X的分布列及数学期望 EX.
【答案】
(1)解:由表中数据得K2的观测值 ,
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关
(2)解:设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟,则基本事件满足的区域为 (如图所示)
设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x>y,
∴由几何概型 即乙比甲先解答完的概率为
(3)解:由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人,抽取方法有 种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 种;恰有一人被抽到有 种;两人都被抽到有 种,
∴X可能取值为0,1,2, , ,
X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 |
P |
∴
【解析】(1)根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中,做出观测值,同所给的临界值表进行比较,得到所求的值所处的位置,得到结论;(2)利用面积比,求出乙比甲先解答完的概率;(3)确定X的可能值有0,1,2.依次求出相应的概率求分布列,再求期望即可.
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【题目】已知函数f(x)是R上的偶函数,在(﹣3,﹣2)上为减函数且对x∈R都有f(2﹣x)=f(x),若A,B是钝角三角形ABC的两个锐角,则( )
A.f(sinA)<f(cosB)
B.f(sinA)>f(cosB)
C.f(sinA)=f(cosB)
D.f(sinA)与与f(cosB)的大小关系不确定
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【题目】已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若ARB,求实数m的取值范围.
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【题目】已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,取相同单位长度(其中(ρ,θ),ρ≥0,θ∈[0,2π))).
(1)直线l过原点,且它的倾斜角α= ,求l与圆E的交点A的极坐标(点A不是坐标原点);
(2)直线m过线段OA中点M,且直线m交圆E于B、C两点,求||MB|﹣|MC||的最大值.
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【题目】设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0. 证明:
(1)l1与l2相交;
(2)l1与l2的交点在曲线2x2+y2=1上.
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【题目】某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售电价表如下:
高峰时间段用电价格表 | 低谷时间段用电价格表 | ||
高峰月用 电量(单 位:千瓦时) | 高峰电价 (单位:元/ 千瓦时) | 低谷月用 电量(单位: 千瓦时) | 低谷电价 (单位:元/ 千瓦时) |
50及以下 的部分 | 0.568 | 50及以下 的部分 | 0.288 |
超过 50 至 200 的部分 | 0.598 | 超过 50 至 200 的部分 | 0.318 |
超过200 的部分 | 0.668 | 超过 200 的部分 | 0.388 |
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为____________元.(用数字作答)
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【题目】已知函数f(x)=loga (其中a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;
(3)若x∈时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a的值.
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【题目】如图所示,沿河有A、B两城镇,它们相距20千米,以前,两城镇的污水直接排入河里,现为保护环境,污水需经处理才能排放,两城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污 水处理厂(在两城镇之间或其中一城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送),依据经验公式,建厂的费用为f(m)=25m0.7(万元),m表示污水流量,铺设管道的费用(包括管道费) (万元),x表示输送污水管道的长度(千米);
已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5,A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米;假定:经管道运输的污水流量不发生改变,污水经处理后直接排入河中;请解答下列问题(结果精确到0.1)
(1)若在城镇A和城镇B单独建厂,共需多少总费用?
(2)考虑联合建厂可能节约总投资,设城镇A到拟建厂的距离为x千米,求联合建厂的总费用y与x的函数关系 式,并求y的取值范围.
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【题目】信息科技的进步和互联网商业模式的兴起,全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式,现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成,多家银行职员人数在悄然减少.某银行现有职员320人,平均每人每年可创利20万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.2万元,但银行需付下岗职员每人每年6万元的生活费,并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的,为使裁员后获得的经济效益最大,该银行应裁员多少人?此时银行所获得的最大经济效益是多少万元?
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