Question

【题目】设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在P（1，﹣2）处的切线方程；
（2）若f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）有两个相异零点x1 ， x2 ， 求证：x1x2＞e2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：在区间（0，+∞）上，

当a=2时，f′（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0

（2）解：①若a＜0，则f′（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，

∵f（1）=﹣a＞0，f（ea）=a﹣aea=a（1﹣ea）＜0，

∴f（1）f（ea）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点

②若a=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1．

③若a＞0，令f′（x）=0得： ．

在区间（0， ）上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；

在区间（ ，+∞）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；

故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为f（ ）= ．

由于f（x）无零点，须使 ，解得： ．

故所求实数a的取值范围是（ ，+∞）

（3）证明：设x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，

∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），lnx1+lnx2=a（x1+x2）

原不等式x1x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2a（x1+x2）＞2

令 ，则t＞1，于是 ．

设函数 ，

求导得： ，

故函数g（t）是（1，+∞）上的增函数，∴g（t）＞g（1）=0

即不等式 成立，故所证不等式x1x2＞e2成立

【解析】（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数求出f′（1）=﹣1，得到切线方程．（2）当a≤0时，函数有零点；当a＞0时，极大值小于0，函数没有零点，由此可求实数a的取值范围．（3）由于f（x）有两个相异零点x1 ， x2 ， 可知f（x1）=0，f（x2）=0，再原不等式x1x2＞e2进一步整理得到 ，只要能证出上述不等式恒成立即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．