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11.如图正四面体(所有棱长都相等)D-ABC中,动点P在平面BCD上,且满足∠PAD=30°,若点P在平面ABC上的射影为P′,则sin∠P′AB的最大值为(  )
A.$\frac{2\sqrt{7}}{7}$B.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$D.$\frac{1}{2}$

分析 由题意可知:当点P取线段CD的中点时,可得到∠P′AB的最大,并且得到sin∠P′AB的最大值.过D作DO⊥平面ABC,可得点O是等边三角形的中心,连接CO延长与AB相交于点M,CM⊥AB.经过点P作PP′⊥CO,垂足为点P′,则PP′⊥平面ABC,点P′为点P在平面ABC的射影,则点P′为CO的中点.进而得出答案.

解答 解:由题意可知:当点P取线段CD的中点时,可得到∠P′AB的最大,并且得到sin∠P′AB的最大值.
过D作DO⊥平面ABC,则点O是等边三角形的中心,连接CO延长与AB相交于点M,CM⊥AB.经过点P作PP′⊥CO,垂足为点P′,则PP′⊥平面ABC,点P′为点P在平面ABC的射影,则点P′为CO的中点.
不妨取AB=2,则MP′=$\frac{2}{3}×\sqrt{3}$,∴AP′=$\sqrt{{1}^{2}+(\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$.
sin∠P′AM=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$.
故选:A.

点评 本题考查了正四面体的性质、线面垂直的判定与性质定理、等边三角形的性质、空间角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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