【题目】已知函数
，
.
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若有两个零点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．
（1）定义域为：
，
当
时，
.
∴
在
时为减函数；在
时为增函数.
（2）记
，则在上单增，且
.∴
.∴在
上有两个零点等价于
在上有两个零点.
①在
时，
在
上单增，且
，故
无零点；②在
时，
在上单增，又
，
，故在上只有一个零点；
③在
时，由
可知在
时有唯一的一个极小值
.
若
，
，无零点；若，
，只有一个零点；若
时，
，而，由于
在
时为减函数，可知：时，
.从而
，∴
在
和
上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求
的取值范围是.
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【题目】设
四点均在双曲线
的右支上.
（1）若
（实数
），证明：
（O是坐标原点）；
（2）若
，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形
的面积的最大值.
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【题目】某校高二期中考试后，教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析，从男、女生中各随机抽取100名学生，分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图，如图所示.
（1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意任取2人，求至少有1名男生的概率．
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【题目】已知函数f（x）＝|x＋1|．
（1）若不等式f（x）≥|2x＋1|1的解集为A，且
，求实数t的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若
，证明：f（ab）＞f（a）f（b）．
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【题目】已知椭圆
的离心率
，
是椭圆
上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
的斜率为
，且直线交椭圆于
、
两点，点关于原点的对称点为
，点
是椭圆上一点，判断直线
与
的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值，如果不是，请说明理由．
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【题目】把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______
用数字作答
．
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【题目】某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为________.
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【题目】在极坐标系
中，曲线
的极坐标方程为
，直线
的极坐标方程为
，设与交于
、
两点，
中点为
，的垂直平分线交于
、
.以
为坐标原点，极轴为
轴的正半轴建立直角坐标系
.
（1）求的直角坐标方程与点的直角坐标；
（2）求证：
.
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