Question

关于曲线C：

x

+

y

=1，有以下几个命题：
①方程中x，y的取值范围都是[0，1]；
②曲线C关于直线y=x对称；
③曲线C与坐标轴围成的面积小于

1

2

；
④曲线C的长度小于

2

；
⑤曲线C上的点到原点的距离的最小值为

2

4

；
其中所有不正确命题的序号是

④

．

Answer 1

分析：分别根据曲线的方程分别进行判断即可．

解答：解：①由

x

+

y

=1，得

y

=1-

x

≥0，解得0≤x≤1，同理得

x

=1-

y

≥0，即0≤y≤1，所以①正确．
②交换x，y的位置后曲线方程不变，所以曲线C关于直线y=x对称，所以正确．
③当0≤x≤1，0≤y≤1，时

x

≥x，

y

≥y，等号不能同时取，所以1=

x

+

y

＞x+y，则直线x+y=1与坐标轴围成的面积为

1

2

，所以曲线C与坐标轴围成的面积小于

1

2

；正确．
④由③知，直线线x+y=1在第一象限内的长度为

2

，所以曲线C的长度小于

2

，所以正确．
⑤设曲线上点的坐标为A（x，y），则|OA|=d=

x2+y2

≥

2xy

，又1=

x

+

y

≥2

x ? y

=2

xy

，
所以

xy

≤

1

4

，即

2xy

≤

2

4

，所以曲线C上的点到原点的距离的最小值不是

2

4

，所以④错误，
故答案为：④

点评：本题考查曲线的图象和性质，利用已有的知识研究函数的性质是解决本题的关键，考查学生分析问题的能力，综合性较强，难度较大．