Question

【题目】如图，在正方体中，分别是中点.

求证：（1）∥平面；

（2）平面.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：

（1）利用正方体的性质和三角形中位线性质可得EF∥AD1，进而利用平行四边形ABC1D1转化为EF∥BC1，最后利用线面平行的判定定理证得结论．

（2）首先利用侧棱垂直于底面得到AA1⊥BD，然后结合正方形性质有AC⊥BD即可证得BD⊥平面AA1C，同理可证A1C⊥BC1最后利用线面垂直的判定定理即得结论．

试题解析：

证明：（1）连结A1D，

∵ E，F分别是AD和DD1的中点，∴ EF∥AD1 ． 2分

∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，

∴ AB∥D1C1，AB=D1C1．

∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1 4分

∴ EF∥BC1．

又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，

∴ EF∥平面AB1D1． 7分

（2）连结AC，则AC⊥BD．

∵ 正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，

∴ AA1⊥BD．

又，∴BD⊥平面AA1C，

∴ A1C⊥BD． 11分

同理可证A1C⊥BC1．

又，∴A1C⊥平面C1BD． 14分