Question

4．设函数f（x）=x³+ax²+bx的图象与直线y=-3x+8相切于点P（2，2）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设函数$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{m+1}{2}{x^2}+mx-\frac{1}{3}（m＞1）$，对于?x₁∈[0，4]，?x₂∈[0，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由切线的方程，解方程可得a，b，进而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（Ⅲ）记f（x）在[0，4]上的值域为A，g（x）在[0，4]上的值域为B，由题意可得A⊆B．分别求得f（x），g（x）在[0，4]的值域，注意运用分类讨论和函数的单调性，可得．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x³+ax²+bx的图象
与直线y=-3x+8相切于点P（2，2），
∴f′（2）=-3，f（2）=2．
∵f′（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}8+4a+2b=2\\ 3×{2^2}+2a×2+b=-3\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=-6\\ b=9\end{array}\right.$．
∴f（x）=x³-6x²+9x．                          
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，得x＜1或x＞3；
令f′（x）＜0，得1＜x＜3．
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（3，+∞）；单调递减区间为（1，3）． 
（Ⅲ）记f（x）在[0，4]上的值域为A，g（x）在[0，4]上的值域为B，
∵对于?x₁∈[0，4]，?x₂∈[0，4]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴A⊆B．
由（Ⅱ）得：f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减，
在[3，4]上单调递增，f（0）=0，f（1）=4，f（3）=0，f（4）=4，
∴A=[0，4]．
∵$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{m+1}{2}{x^2}+mx-\frac{1}{3}（m＞1）$，
∴g′（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m）．
①当1＜m＜4时，g（x）在[0，1]上单调递增，
在[1，m]上单调递减，在[m，4]上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（0）或g（m），g（x）的最大值为g（1）或g（4）．
∵$g（0）=-\frac{1}{3}＜0$，且A⊆B，
∴g（1）≥4或g（4）≥4，
∴$g（1）=\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}≥4$或g（4）=-4m+13≥4，
即m≥9或$m≤\frac{9}{4}$．
又∵1＜m＜4，∴$1＜m≤\frac{9}{4}$．
②当m≥4时，g（x）在[0，1]上单调递增，[1，4]上单调递减，
∴g（x）的最小值为g（0）或g（4），g（x）的最大值为g（1）．
∵$g（0）=-\frac{1}{3}＜0$，且A⊆B，
∴g（1）≥4，∴$\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}≥4$，即m≥9．
综上所述：$1＜m≤\frac{9}{4}$或m≥9．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查任意性和存在性问题的解法，转化为求函数的值域的关系，考查运算能力和分类讨论的思想方法，属于中档题．