设函数.
(1)求函数的单调区间和极值。
(2)若关于的方程有三个不同实根,求实数的取值范围;
(3)已知当(1,+∞)时,恒成立,求实数的取值范围.
(1)f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞);单调减区间为(-,).当x=-时,f(x)有极大值5+4;当x=时,f(x)有极小值5-4.
(2)-4<a<5+4
(3)k≤-3
解析试题分析:(1) 解:f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,解得x1=-,x2=.
因为当x>或x<-时,f′(x)>0;当-<x<时,f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-)和(,+∞);单调减区间为(-,).
当x=-时,f(x)有极大值5+4;
当x=时,f(x)有极小值5-4. ---————-3分
(2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的大致形状及走向如图所示,当5-4<a<5+4时,直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同交点,即方程f(x)=a有三个不同的 6分
(3) 解:f(x)≥k(x-1),即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1).
因为x>1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立.
令g(x)=x2+x-5,此函数在(1,+∞)上是增函数.
所以g(x)>g(1)=-3.
所以k的取值范围是k≤-3. 10分
考点:导数的运用
点评:本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法,利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法,不等式恒成立问题的解法
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式,其中3<x<6,a 为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克。
(I)求a的值
(II)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=x3-12x+5,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的取值范围;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中常数.
(1)求的单调区间;
(2)如果函数在公共定义域D上,满足,那么就称 为与的“和谐函数”.设,求证:当时,在区间上,函数与的“和谐函数”有无穷多个.
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