Question

已知向量

a

=（x，y），

b

=（cosα，sinα），其中x，y，α∈R，若|

a

|=4|

b

|，则

a

•

b

＜λ²成立的一个必要不充分条件是（　　）

A．λ＞3或λ＜-3

B．λ＞1或λ＜-1

C．-3＜λ＜3

D．-1＜λ＜1

Answer 1

分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断，利用向量的数量积进行运算即可．

解答：解：因为量

a

=（x，y），

b

=（cosα，sinα），|

a

|=4|

b

|，所以

x2+y2

=4，
所以

a

•

b

=xcosα+ysinα=

x2+y2

cos(α-θ)，其中θ为参数．
所以

a

•

b

的最大值为

x2+y2

=4，
所以由

a

•

b

＜λ²，得4＜λ²成立，解得λ＞2或λ＜-2．
所以使λ＞2或λ＜-2成立的一个必要不充分条件为λ＞1或λ＜-1．
故选B．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数量积的定义求出数量积的最大值是解决本题的关键．要注意三角函数辅助角公式的应用．