A. | (-∞,$\frac{1}{{e}^{3}}$) | B. | ($\frac{1}{{e}^{3}}$,+∞) | C. | (-∞,$\frac{1}{3e}$) | D. | ($\frac{1}{3e}$,+∞) |
分析 根据函数与方程的关系转化为两个函数的交点个数问题,构造函数,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性和最值即可.
解答 解:由f(x)=x3lnx+m=0得x3lnx=-m,
设g(x)=x3lnx,函数的定义域为(0,+∞),
则g′(x)=x2(3lnx+1),
由g′(x)>0得x>$\frac{1}{{e}^{3}}$,
由g′(x)<0得0<x<$\frac{1}{{e}^{3}}$,
即当x=$\frac{1}{{e}^{3}}$时,函数g(x)取得极小值同时也是最小值g($\frac{1}{{e}^{3}}$)=-$\frac{1}{3e}$,
要使函数f(x)=x3lnx+m有2个零点,等价为方程x3lnx=-m有两个根,
则-m>-$\frac{1}{3e}$,即m<$\frac{1}{3e}$,
故实数m的取值范围是(-∞,$\frac{1}{3e}$),
故选:C
点评 本题主要考查函数与方程的应用,根据条件转化为函数问题,构造函数,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键.
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