Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）  AD与平面PCD所成的角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，则FG$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，AE$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，因此FG$\underline{\underline{∥}}$AE，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，AF∥平面PCE；
（Ⅱ）PA⊥底面ABCD，可证明CD⊥平面ADP，CD⊥AF，则AF⊥PD，AF⊥平面PCD，∠ADP就是AD与平面PCD所成的角，PA=AD，∠PDA=45°．

解答 解：（Ⅰ）证明：取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线，
∴FG$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，…2分
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
∴AE$\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}$CD，…3分
∴FG$\underline{\underline{∥}}$AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，…4分
∴AF∥EG又EG?平面PCE，
AF?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；  …6分
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，
又AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面ADP …7分
又AF?平面ADP，
∴CD⊥AF …8分
在直角三角形PAD中，PA=AD且F是PD的中点，
∴AF⊥PD，…9分
又CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD．…10分
∴∠ADP就是AD与平面PCD所成的角．…12分
在直角三角形PAD中，PA=AD，
∴∠PDA=45°…13分
∴AD与平面PCD所成的角是45°．…

点评 本题考查线面位置关系，直线与平面所成的角的大小，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，属于中档题．