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12.(1)某简单几何体的三视图中,正视图、侧视图、俯视图都是如图所示的直角边长为1的等腰直角三角形,求该几何体的表面积和体积;
(2)三棱锥O-ABC中,OB=AC=5,OA=BC=$\sqrt{41}$,AB=OC=$\sqrt{34}$,求该三棱锥的外接球体的表面积和体积.

分析 (1)由三视图可知,直观图的底面是等腰直角三角形,侧棱垂直底面,利用所给数据,求该几何体的表面积和体积;
(2)构造长方体,使得面上的对角线长分别为5,$\sqrt{41}$,$\sqrt{34}$,则长方体的对角线长等于三棱锥O-ABC外接球的直径,即可求出三棱锥O-ABC外接球的表面积和体积.

解答 解:(1)由三视图可知,直观图的底面是等腰直角三角形,侧棱垂直底面,
S=3×$\frac{1}{2}×1×1$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$,---------------(2分)
V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$-------------------------(4分)
(2)构造长方体,使得面上的对角线长分别为5,$\sqrt{41}$,$\sqrt{34}$,
则长方体的对角线长等于三棱锥O-ABC外接球的直径.
设长方体的棱长分别为x,y,z,则x2+y2=25,y2+z2=41,x2+z2=34,
∴x2+y2+z2=50
∴三棱锥O-ABC外接球的直径为5$\sqrt{2}$,
∴三棱锥S-ABC外接球的表面积为π•50=50π------------------(6分)
V=$\frac{4}{3}π•(\frac{5\sqrt{2}}{2})^{3}$=$\frac{125}{3}\sqrt{2}π$----------------(8分)

点评 本题考查球内接多面体,考查三视图,构造长方体,利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键.

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