Question

（08年唐山一中一模文）(12分） 设函数f(x)是定义在R上的减函数，满足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(0)=1,数列{a_n}满足

a₁=4，f(log₃f(-1-log₃=1 (n∈N^*)

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解析:(Ⅰ)由题设知f(log₃∙f(-1-log₃=1 (n∈N^*)可化为,

∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，

∴即

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列。

∴log₃即

a_n=4∙3^n-1……………………6分

(Ⅱ)na_n=4n∙3^n-1,∴T_n=4(1∙3⁰+2∙3¹+3∙3²+…+n∙3^n-1) ,∴3T_n=4(1∙3¹+2∙3²+3∙3³+…+n∙3ⁿ),

∴-2T_n=4(1+3¹+3²+3³+…+3^n-1-n∙3ⁿ)=4(-n∙3ⁿ) ,T_n=(2n-1)∙3ⁿ+1. …………12分