Question

13．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线l的平行线交双曲线C于A，若以A为圆心，2a为半径的圆与l相切，则双曲线C的离心率e的值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得与渐近线平行的直线方程，联立双曲线方程，可得A的坐标，再由直线和圆相切的条件，计算可得b=2a，再由离心率公式计算，即可所求．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），
渐近线l的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
一条渐近线l的平行线为y=$\frac{b}{a}$（x-c），
代入双曲线的方程，可得A（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
由直线和圆相切的条件可得，
$\frac{|\frac{b（{a}^{2}+{c}^{2}）}{2c}-\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2c}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2a，
化简可得，b=2a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，直线和圆相切的条件，考查离心率的求法，属于中档题．