A. | y=$\frac{x}{20}$+2 | B. | y=$\sqrt{x}$ | C. | y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$ | D. | y=4lgx-3 |
分析 由设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:当x∈[10,100]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.然后对两个函数模型逐一分析,对三个条件全部满足的选取,三个条件有一个不满足则舍弃.
解答 解:设奖励函数模型为y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是:
当x∈[10,100]时,①f(x)是增函数;②f(x)≤9恒成立;③$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.
①对于函数模型y=$\frac{x}{20}$+2:
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=$\frac{100}{20}$+2=5+2=7.
所以f(x)≤9恒成立.
因为函数$\frac{f(x)}{x}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{2}{x}$在[10,100]上是减函数,所以[$\frac{f(x)}{x}$]max=$\frac{1}{20}+\frac{2}{10}$=$\frac{1}{4}$>$\frac{1}{5}$.
即$f(x)≤\frac{x}{5}$不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型y=$\sqrt{x}$:
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=$\sqrt{100}$=10>9.
所以f(x)≤9不成立.故该函数模型不符合公司要求.
③于函数模型y=$\frac{x}{25}$+$\frac{5}{x}$=$\frac{1}{25}$(x+$\frac{125}{x}$):
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=$\frac{100}{25}$+$\frac{5}{100}$=4+$\frac{1}{20}$.
所以f(x)≤9恒成立.
因为函数$\frac{f(x)}{x}$=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{{x}^{2}}$在[10,100]上是减函数,所以[$\frac{f(x)}{x}$]max=$\frac{1}{25}$+$\frac{5}{100}$=$\frac{9}{100}$<$\frac{1}{5}$.
即$f(x)≤\frac{x}{5}$恒成立.故该函数模型符合公司要求.
④对于函数模型f(x)=4lgx-3:
当x∈[10,100]时,f(x)是增函数,则f(x)max=f(100)=4lg100-3=8-3=5.
所以f(x)≤9恒成立.
设g(x)=4lgx-3-$\frac{x}{5}$,则$g'(x)=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}$.
当x≥10时,$g'(x)=\frac{4lge}{x}-\frac{1}{5}≤\frac{2lge-1}{5}=\frac{{lg{e^2}-1}}{5}<0$,
所以g(x)在[10,100]上是减函数,从而g(x)≤g(10)=-1<0.
所以4lgx-3-$\frac{x}{5}$<0,即4lgx-3<$\frac{x}{5}$,所以$f(x)<\frac{x}{5}$恒成立.
故该函数模型符合公司要求.
在③和④中,③的f(x)max=4+$\frac{1}{20}$.④的最大值为(x)max=5.
则为了达到激励的目的,应该是收益越高,奖励的比例越高,故④比③更合适,
故选:D
点评 本题考查了函数模型的选择及应用,训练了函数最值的求法,综合性较强,有一定的难度.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3713}{4225}$ | B. | $\frac{2047}{4225}$ | C. | -$\frac{2047}{4225}$ | D. | -$\frac{3713}{4225}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (1,$\frac{5}{4}$] | B. | (1,$\frac{5}{4}$) | C. | [1,$\frac{5}{4}$] | D. | [0,$\frac{5}{4}$] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2-$\sqrt{3}$ | B. | 2$\sqrt{3}$+3 | C. | 2+$\sqrt{3}$ | D. | 2$\sqrt{3}$-3 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | B. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | D. | $\sqrt{5}$ |
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