Question

【题目】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．

求证：（1）DE∥平面ABB1A1；

（2）BC1⊥平面A1B1C．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；

（2）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．

（1）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱， 所以侧面ACC1 A1为平行四边形．

又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，

同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB． 又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，

所以DE∥平面ABB1A1．

（2）因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．

又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1． 又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．

又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，

所以BC1⊥平面A1B1C．