Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=AC=1，∠BAC=120°，异面直线B₁C与AA₁成60°角，D，E分别是BC，AB₁的中点．
（1）求证：DE∥平面AA₁C₁C．
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先连结 A₁B，A₁C在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面是平行四边形，D，E分别是BC，AB₁的中点，所以DE∥A₁C，DE?平面AA₁C₁C，A₁C?平面AA₁C₁C，DE∥平面AA₁C₁C
（2）异面直线B₁C与AA₁成60°角，所以∠CB₁B=60°，侧棱AA₁⊥底面ABC，侧棱BB₁⊥底面ABC利用三角函数求得：BB₁=1，AB=AC=1，∠BAC=120°，进一步求出底面的面积，和锥体的体积．

解答： （1）证明：连结 A₁B，A₁C在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面是平行四边形
D，E分别是BC，AB₁的中点
所以DE∥A₁C
DE?平面AA₁C₁C，A₁C?平面AA₁C₁C
DE∥平面AA₁C₁C
（2）异面直线B₁C与AA₁成60°角
所以∠CB₁B=60°
侧棱AA₁⊥底面ABC
侧棱BB₁⊥底面ABC
利用三角函数求得：BB₁=1
AB=AC=1，∠BAC=120°
S△ABC=

1

2

•1•1•sin120°=

3

4

VB1-ABC=

1

3

•1•

3

4

=

3

12

点评：本题考查的知识要点：三角形中位线定理，线面平行的判定定理，三角形的面积公式，锥体的体积公式，异面直线的夹角．