Question

【题目】某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)、B(4,0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A、B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？

Answer 1

【答案】供水站应建在点处；

【解析】试题分析：根据两点间的距离公式以及点的对称性，建立方程组的关系，进行求解即可.

试题解析：

如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.

因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值．

设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，

即，解得，即A′(3,6)．

所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0.

解方程组，得.

所以P点的坐标为(，)．

故供水站应建在点P(，)处，

此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝ .