Question

已知函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1．
（1）求a，b的值；
（2）求过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+4bx-3
∵函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1．
∴f′（1）=f′（-1）=0
∴，∴a=1，b=0
此时f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点；
（2）设切点为P（x₀，f（x₀） ），则f′（x₀）=3x₀-3，∴切线方程为
即y=3（x₀-1）x+x₀³-3
∵点A（1，-2）在切线上，
∴-2=3（x₀-1）+x₀³-3
即x₀³-3+3x₀-1=0
∴x₀=1，
∴切线方程是y=-2
分析：（1）求导函数，利用函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1，建立方程组，即可求得a，b的值；
（2）假设切点坐标，写出切线方程，将点A的坐标代入，即可求得过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义与函数的极值，解题的关键是理解导数的几何意义及极值的含义．