Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝n²－n－30.
(1)求数列的前三项，60是此数列的第几项？
(2)n为何值时，a_n＝0，a_n>0，a_n<0?
(3)该数列前n项和S_n是否存在最值？说明理由．

Answer 1

（1）第10项   （2）0<n<6(n∈N^*)   （3）不存在，见解析

解：(1)由a_n＝n²－n－30，得
a₁＝1－1－30＝－30，
a₂＝2²－2－30＝－28，
a₃＝3²－3－30＝－24.
设a_n＝60，则60＝n²－n－30.
解之得n＝10或n＝－9(舍去)．
∴60是此数列的第10项．
(2)令a_n＝n²－n－30＝0，
解得n＝6或n＝－5(舍去)，∴a₆＝0.
令n²－n－30>0，
解得n>6或n<－5(舍去)．
∴当n>6(n∈N^*)时，a_n>0.
令n²－n－30<0，解得0<n<6，
∴当0<n<6(n∈N^*)时，a_n<0.
(3)S_n存在最小值，不存在最大值．
由a_n＝n²－n－30＝(n－)²－30，(n∈N^*)
知{a_n}是递增数列，且
a₁<a₂<…<a₅<a₆＝0<a₇<a₈<a₉<…，
故S_n存在最小值S₅＝S₆，不存在S_n的最大值．