Question

【题目】已知函数f（x）＝xex－alnx（无理数e＝2.718…）．

（1）若f（x）在（0，1）单调递减，求实数a的取值范围；

（2）当a＝－1时，设g（x）＝x（f（x）－xex）－x3＋x2－b，若函数g（x）存在零点，求实数b的最大值．

Answer 1

【答案】（1）a≥2e；（2）0

【解析】

（1）由题得≤0，即a≥（x2＋x）ex在（0，1）上恒成立，再构造函数求函数的最大值即得解；（2）问题等价于方程b＝xlnx－x3＋x2在（0，＋∞）上有解，先证lnx≤x－1（x＞0），再求得b的最大值为0．

（1），

由题意：≤0，x∈（0，1）恒成立，即（x2＋x）ex－a≤0，

也就是a≥（x2＋x）ex在（0，1）上恒成立，

设h（x）＝（x2＋x）ex，

则＝ex（2x＋1）＋（x2＋x）ex＝ex（x2＋3x＋1），

当x∈（0，1）时，x2＋3x＋1＞0，

故）＞0，h（x）在（0，1）单调递增，h（x）＜h（1）＝2e，

因此a≥2e．

（2）当a＝－1时，f（x）＝xex＋lnx，g（x）＝xlnx－x3＋x2－b，

由题意：问题等价于方程b＝xlnx－x3＋x2在（0，＋∞）上有解，

先证：lnx≤x－1（x＞0），事实上：设y＝lnx－x＋1，则，

令，x＝1，x∈（0，1）时，y'＞0函数递增，x∈（1，＋∞）时，y'＜0函数递减，

ymax＝y|x＝1＝0，即y≤0，也就是lnx≤x－1．

由此：k（x）＝xlnx－x3＋x2≤x（x－1）－x3＋x2＝2x2－x－x3＝－x（x2－2x＋1）≤0，

故当x＝1时，k（1）＝0，所以b的最大值为0．