Question

有甲乙2名老师和4名学生站成一排照相．
（1）甲乙两名老师必须站在两端，共有多少种不同的排法？
（2）甲乙两名老师必须相邻，共有多少种不同的排法？
（3）甲乙两名老师不能相邻，共有多少种不同的排法？
（4）甲乙两名老师之间必须站两名同学，共有多少种不同的排法？（必须写出解析式再算出结果才能给分）

Answer 1

分析：（1）甲、乙两名老师必须站在两端，则甲和乙站在两端，4名学生在中间排列，共有A₄⁴A₂²种结果．
（2）甲、乙两名老师必须相邻，则可以把两名教师看做一个元素，同4名学生进行排列，注意教师之间还有一个排列
（3）两名教师不能相邻，可以先排列学生，有A₄⁴种结果，再在学生形成的5个空中排列两名教师，有A₅²种结果，根据分步计数原理知共有24×20种结果．
（4）甲、乙两名老师之间必须站两名同学，则从4名学生中选两个排列在教师之间，两名教师和2个学生组成一个元素同另外2个元素进行排列．

解答：解：（1）甲、乙两名老师必须站在两端，则甲和乙站在两端，4名学生在中间排列，共有A₄⁴A₂²=48种结果．
（2）甲、乙两名老师必须相邻，则可以把两名教师看做一个元素，
同4名学生进行排列，注意教师之间还有一个排列，共有A₅⁵A₂²=240种结果
（3）由题意知两名教师不能相邻，可以先排列学生，有A₄⁴=24种结果，
再在学生形成的5个空中排列两名教师，有A₅²=20种结果，
根据分步计数原理知共有24×20=480种结果
即两名女生不能相邻的排列方法有480种结果
（4）甲、乙两名老师之间必须站两名同学，则从4名学生中选两个排列在教师之间，两名教师和2个学生组成一个元素同另外2个元素进行排列，共有A₄²A₂²A₃³=144种结果．

点评：本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是不相邻问题采用插空法，相邻问题采用捆绑法，本题包括的情况比较多，是一个综合题目．