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如图所示,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是AB的中点,G是AD的中点,EC与平面ABCD成30°角
(1)求证:EG⊥平面ABCD;
(2)若AD=2,求二面角E-FC-G的度数;
(3)当AD的长是多少时,D点到平面EFC的距离为2?并说明理由.
【答案】分析:(1)由已知中,△ADE是等边三角形,G是AD的中点,结合等边三角形“三线合一”的性质,易得EG⊥AD,又由平面EAD⊥平面ABCD,由面面垂直的性质可得EG⊥平面ABCD;
(2)连接CG,则CG是EC在平面ABCD的射影,结合已知中EC与平面ABCD成30°角,得∠ECG=30°,解Rt△ECG,Rt△CDG,求出GF,FC,GC的长,易根据勾股定理得到,GF⊥FC,EF⊥FC,故∠EFG是二面角E-FC-G的平面角,解三角形EFG,即可求出二面角E-FC-G的度数.
(3)根据VE-DFC=VD-EFC,通过计算底面积,从而可求AD的长
解答:解:(1)证明:如图所示,∵△ADE是等边三角形,
∴EG⊥AD
又平面EAD平面ABCD且相交于AD,
∴EG⊥平面ABCD
(2)连接CG,则CG是EC在平面ABCD的射影
∴∠ECG是EC与平面ABCD所成的角,
∴∠ECG=30°
在Rt△ECG中:
∵AD=2,
∴EG=
∴CG=3
在Rt△CDG中:
∵DG=1,GC=3,
∴DC=
则AF=BF=,GF=,FC=
∴GF2+FC2=GC2
即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC内的射影,
∴EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角.
在Rt△EGF中,EG=GF=
∴∠EFG=45°
故所求二面角E-FC-G的度数为45°
(3)设AD=2a,则可得,S△EFC=3a2
∵VE-DFC=VD-EFC



点评:本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,二面角的平面角的求法,求二面角的平面角,关键是要找出这个角,将空间求角问题,转化为解三角形问题.
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