【题目】已知函数,其中.
(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;
(Ⅱ)若函数有两个极值点,其中且,是否存在整数使得不等式
恒成立?若存在,求整数的值;若不存在,请说明理由.(参考数据: )
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)或.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导得,令,讨论,结合单调性可得解;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 是方程的两根,所以,可得,令,设(),可得,即,进而得所以,求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)由得, .
①当时,即, ,所以为增函数,没有极值点.
②当时,即或,由得
若,则,当时, ,即,所以为
增函数,没有极值点,若,则,当变化时, 与的变化情况如下表:
所以函数有两个极值点综上可知:当时, 极值点的个数为;当时, 极值点的个数为
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, 是方程的两根,所以.
令,因为,所以,设()
因为所以在上为减函数,所以,因为
所以,即.
因为,所以
所以,解得因为,所以,又因为,所以或
所以存在整数或使得不等式恒成立.
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【题目】如图,在四棱锥中, 底面, , ∥, , .
(1)求证:平面 平面;
(2)若棱上存在一点,使得二面角的余弦值为,求与平面所成角的正弦值.
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【题目】设集合A,B是R中两个子集,对于,定义: .①若;则对任意;②若对任意,则;③若对任意,则A,B的关系为.上述命题正确的序号是______. (请填写所有正确命题的序号)
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【题目】已知a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),f(x)=2a·b.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值;
(2)若g(x)=f(x),x∈,画出函数y=g(x)的图象,讨论y=g(x)-m(m∈R)的零点个数.
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【题目】标号为0到9的10瓶矿泉水.
(1)从中取4瓶,恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种?
(2)把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式,作为射击的靶子,规定每次只能射击每列最下面的一个(射中后这个空瓶会掉到地下),把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案?
(3)把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收人员,每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果?
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【题目】《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.
某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N(60,169).
(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数;
(Ⅱ)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记X表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.
(附:若随机变量,则,,)
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【题目】某化工企业2018年年底投入100万元,购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元,此外,每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备年的年平均污水处理费用为(单位:万元)
(1)用表示;
(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时,企业需重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。
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