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9.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为1,C1B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2,如果平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角是锐角,求出此二面角的大小(结果用反三角函数值).

分析 以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角的大小.

解答 解:∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥底面ABCD,
∴BC是BC1在平面ABCD上的射影,
∴∠C1BC是直线C1B与底面ABCD所成的角,
∵C1B与底面ABCD所成的角的大小为arctan2,∴∠C1BC=arctan2,
在Rt△C1BC中,C1C=BC•tan∠B1BC=2,
以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如图,
∵D1D⊥平面ABCD,∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}$=$\overrightarrow{m}$=(0,0,2)是平面ABCD的一个法向量,
B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,2),
$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=(-1,-1,2),$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(-1,0,2),
设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)是平面BD1C1的一个法向量,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=x+y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=x-2z=0}\end{array}\right.$,取z=1,得$\overrightarrow{n}$=(2,0,1),
设平面BD1C1与底面ABCD所成的二面角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

点评 本题考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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