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11.已知函数f(x)=ax2-bx+1.
(1)求实数a,b使不等式f(x)<0的解集是{x|3<x<4};
(2)若a为整数,b=a+2,且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,求a的值.

分析 (1)利用不等式ax2-bx+1<0的解集是{x|3<x<4},推出方程ax2-bx+1=0的两根是3和4,求解即可.
(2)利用已知条件推出f(-2)•f(-1)<0,求出a的范围,然后求解即可.

解答 解:(1)∵不等式ax2-bx+1<0的解集是{x|3<x<4},
∴方程ax2-bx+1=0的两根是3和4,….(2分)
∴解得a=$\frac{1}{12}$,b=$\frac{7}{12}$.….(6分)
(2)∵b=a+2,∴f(x)=ax2-(a+2)x+1.….(7分)
∵△=(a+2)2-4a=a2+4>0,
∴函数f(x)=ax2-bx+1必有两个零点.….(8分)
又函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,
∴f(-2)•f(-1)<0,∴(6a+5)(2a+3)<0,….(10分)
解得-$\frac{3}{2}$<a<-$\frac{5}{6}$.∵a∈Z,∴a=-1.….(12分)

点评 本题考查二次表达式的解法,函数的零点与方程根的关系,考查计算能力.

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