Question

18．函数f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{{x}^{2}+4x+2}$的值域是（-∞，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据分式的性质，结合分式的单调性进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x}{{x}^{2}+4x+2}$=$\frac{{x}^{2}+4x+2-2}{{x}^{2}+4x+2}$=1-$\frac{2}{{x}^{2}+4x+2}$=1-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$，
由（x+2）²-2≠0，
得（x+2）²≠2，
解得x≠-2$+\sqrt{2}$且x≠-2-$\sqrt{2}$，
当x＜-2-$\sqrt{2}$或x＞-2$+\sqrt{2}$，（x+2）²-2＞0，
则$\frac{1}{（x+2）^{2}-2}$＞0，$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＞0，-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＜0，
则1-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＜1，即此时f（x）＜1，
当-2-$\sqrt{2}$＜x＜-2$+\sqrt{2}$，-2＜（x+2）²-2＞0，
则$\frac{1}{（x+2）^{2}-2}$＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＜-1，-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＞1，
则1-$\frac{2}{（x+2）^{2}-2}$＞2，即此时f（x）＞2，
综上f（x）＜1或f（x）＞2，
即函数的值域为（-∞，1）∪（2，+∞），
故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用分子常数化，结合分式函数的单调性是解决本题的关键．