Question

设函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)．
（1）求f（x）的解析式，并求函数的最小正周期．
（2）若f(α+

π

4

)=

3 2

5

且α∈(0，

π

2

)，求f(2α-

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得m=1，进而可得函数解析式，可得周期；（2）由（1）化简已知可得cosα=

3

5

，进而可得sinα的值，而要求的值可化为2

2

sinαcosα，代值即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=msinx+cosx（x∈R）的图象经过点(

π

2

，1)
∴msin

π

2

+cos

π

2

=1，∴m=1…．（2分）
∴f(x)=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)…．（3分）
∴函数的最小正周期T=2π…（4分）
（2）由（1）知：f(α+

π

4

)=

2

sin(α+

π

4

+

π

4

)=

2

sin(α+

π

2

)=

2

cosα=

3 2

5

…（6分）
∴cosα=

3

5

，又因为α∈(0，

π

2

)∴sinα=

1-cos2α

=

4

5

…（9分）
∴f(2α-

π

4

)=

2

sin(2α-

π

4

+

π

4

)=

2

sin2α=2

2

sinαcosα=

24 2

25

…（12分）

点评：本题为三角函数的运算，涉及两角和与差的公式以及三角函数的图象，属基础题．