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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,BC=
2
,且PC⊥CD,BC⊥PA,E是PB的中点.
(Ⅰ)求证:平面PBC⊥平面EAC;
(Ⅱ)若平面PAC与平面EAC的夹角的余弦值为
3
3
,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
考点:二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(Ⅰ)由AC=BC=
2
,得AC⊥BC,从而BC⊥平面PAC,BC⊥PC,又PC⊥CD,从而PC⊥AC,由此能证明平面EAC⊥平面PBC.
(Ⅱ)以点C为原点,DA,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,由此能求出直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
解答: (Ⅰ)证明:∵AB=2AD=2CD=2,BC=
2
,∴AC=BC=
2

∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC,
又BC⊥PA,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,
∴BC⊥PC,又PC⊥CD,BC∩CD=C,
∴PC⊥平面ABCD,∴PC⊥AC,
又PC∩BC=C,∴AC⊥平面PBC,
又AC?面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(Ⅱ)解:以点C为原点,DA,CD,CP分别为x轴、y轴、z轴,
建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),
设P(0,0,a)(a>0),
则E(
1
2
,-
1
2
a
2
),
CA
=(1,1,0),
CP
=(0,0,a),
CE
=(
1
2
,-
1
2
a
2
),
设平面PAC的法向量
m
=(x,y,z),
m
CA
=x+y=0
m
CP
=az=0
,取x=1,得
m
=(1,-1,0),
设面EAC的法向量
n
=(x1y1z1)

n
CA
=x1+y1=0
n
CE
=
1
2
x1-
1
2
y1+
a
2
z1=0
,取x1=a,则
n
=(a,-a,-2)

依题意,|cos<
m
n
>|=
2a
2
2a2+4
=
a
a2+2
=
3
3

则a=1,于是
n
=(1,-1,-2),
PA
=(1,1,-2).
设直线PA与平面EAC所成角为θ,
则sinθ=|cos<
PA
n
>|=
1-1+4
6
6
=
2
3

∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
2
3
点评:本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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