Question

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=

1 2 2 1

，β=

1 7

，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M¹⁰⁰β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）根据逆矩阵公式可求M^-1，
（Ⅱ）先求特征值，M的特征值满足：

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=(λ-1)(λ-1)-4=0，λ₁=3，λ₂=-1，进而可求对应的特征向量；（Ⅲ）先将β用特征向量进行表示，即β=4α₁+-3α₂，再求M¹⁰⁰β；
（2）设P（ρ，θ）是曲线C上的任意一点，则|OP|=ρ=1+cosθ，点A在曲线C上，曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、|AP|为半径的圆，故可求其周长．
（3）利用分析法证明．原不等式等价于：

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，两边平方
a2+

1

a2

+2

a2+ 1 a2

+4≥(a+

1

a

)2+2

2

(a+

1

a

)+2，从而可将问题转化为证明a2+

1

a2

≥2即可．

解答：（1）解：（Ⅰ）∵M=

1 2 2 1

∴1×1-2×2=-3
∴M^-1=

- 1 3 2 3 2 3 - 1 3

．
（Ⅱ）M的特征值满足：

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=(λ-1)(λ-1)-4=0
∴λ₁=3，λ₂=-1
λ₁=3时，由方程组

2x-2y=0 -2x+2y=0

，对应的特征向量为：α1=

1 1

λ₂=-1时，由方程组

-2x-2y=0 -2x-2y=0

，对应的特征向量为α2=

1 -1

，
（Ⅲ）令β=mα₁+nα₂，将具体数据代入得：m=4，n=-3，

M100β=M100(4α1-3α2) =4(M100α1)-3(M100α2) =4•3100 1 1 -3•(-1)100 1 -1 = 4•3100-3 4•3100+3

（2）解：设P（ρ，θ）是曲线C上的任意一点，则|OP|=ρ=1+cosθ，
由余弦定理，得|AP|²=|OP|²+|OA|²-2|OP|•|OA|cosθ
=（1+cosθ）²+2²-4(1+cosθ)cosθ=

16

3

-3(cosθ+

1

3

)2，
当cosθ=-

1

3

时，|AP|有最大值为

16 3

，
将点A（2，0）代入曲线C的极坐标方程，是满足的，知点A在曲线C上，
所以曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形是以点A为圆心、
|AP|=

16 3

为半径的圆，其周长为2π

16 3

．
（3）证明：原不等式等价于：

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

等价于：a2+

1

a2

+2

a2+ 1 a2

+4≥(a+

1

a

)2+2

2

(a+

1

a

)+2
即：

a2+ 1 a2

≥

2

(a+

1

a

)
上式等价于：a2+

1

a2

≥2(a2+

1

a2

+2)
即：a2+

1

a2

≥2
由基本不等式：a2+

1

a2

≥2，上式显然成立，
∴原不等式成立．

点评：本题是选做题，涉及矩阵，极坐标方程，不等式的证明，综合性强，掌握的知识点多，属于中档题．