Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过A（t₁,y₁）、B(t₂,y₂)两点，且满足a²+(y₁+y₂)a+y₁y₂=0.

(1)证明：y₁=-a或y₂=-a;

(2)证明：函数f(x)的图像必与x轴有两个交点;

(3)若关于x的不等式f(x)＞0的解集为{x|x＞m或x＜n}（n＜m＜0），解关于x的不等式cx²-bx+a＞0.

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵a²+(y₁+y₂)a+y₁y₂=0,

∴(a+y₁)(a+y₂)=0得y₁=-a、y₂=-a.

（Ⅱ）当a＞0时，二次函数f(x)的图像开口向上，图像上的点A、B的纵坐标均为-a且小于零，所以图像x轴有两个交点;

    当a＜0时，二次函数f(x)的图像开口向下，图像上的点A、B的纵坐标均为-a且大于零，所以图像x轴有两个交点.

    所以函数f(x)的图像与x轴有两个不同交点.

（Ⅲ）∵ax²+bx+c＞0的解集为{x|x＞m或x＜n}（n＜m＜0）,

∴a＞0,b＞0,c＞0

    从而方程cx²+bx+a=0的两个根为x₁=,x₂=,则方程cx²-bx+a=0的两个根为x₁=-,x₂=-.

    因为n＜m＜0，所以-＜-,

    故不等式cx²-bx+a＞0的解集为{x|x＞-或x＜-}.