Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB₁=

3

，求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接AC₁交A₁C于点E，连接DE，只要证明DE∥BC₁；
（2）求出CD⊥面AA₁B₁B，得到CD是棱锥的高，利用棱锥的体积公式解答．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC₁交A₁C于点E，连接DE
因为四边形AA₁C₁C是矩形，则E为AC₁的中点
又D是AB的中点，DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D，BC₁?面CA₁D，
所以BC₁∥面CA₁D；
（2）解：AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，
又AA₁⊥面ABC，CD?面ABC，AA₁⊥CD，
AA₁∩AB=A，CD⊥面AA₁B₁B，CD?面CA₁D，
平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B所以CD是三棱锥B₁-A₁DC的高，
又S△A1B1D=

1

2

AB×

3

=

3

，
所以VB1-A1DC=VC-A1B1D=

1

3

S△A1B1D×AD=

1

3

×

3

×

3

=1；

点评：本题考查了三棱柱中线面平行的判断以及棱锥的体积的求法，关键是转化为线线平行的判断以及棱锥的高的求法．