Question

（本题满分16分）已知数列中，，，且

．（Ⅰ）设，证明是等比数列；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．

Answer 1

解析：（Ⅰ）证明：由题设，得

，

即．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），

，

，

……

．

将以上各式相加，得．所以当时，

上式对显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得

，      ①

整理得，解得或（舍去）．于是

．

另一方面，

，

．

由①可得

．

所以对任意的，是与的等差中项．