Question

10．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，1），且f（x）在区间[-1，4]的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数h（x）=lnx-2x+f（x），若函数h（x）在区间[$\frac{1}{2}$，m-1]上单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次函数和不等式之间的关系，利用待定系数法即可求f（x）的解析式；
（2）求出函数h（x）的表达式，求函数的导数，研究函数的单调求解即可得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，1），
∴0，1是方程f（x）=0的两个根，
设f（x）=ax（x-1），（a＞0），且函数的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，抛物线开口向上，
∵f（x）在区间[-1，4]的最大值是12，
∴当x=4时，函数取得最大值12，即f（4）=4（4-1）a=12a=12，
∴a=1，
即f（x）的解析式为f（x）=x（x-1）=x²-x；
（2）h（x）=lnx-2x+f（x）=lnx-2x+x²-x=lnx+x²-3x，函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数h′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$═$\frac{（x-1）（2x-1）}{x}$，
由h′（x）＞0得x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，即此时函数单调递增，即增区间为[1，+∞），（0，$\frac{1}{2}$]．
由h′（x）＜0得$\frac{1}{2}$＜x＜1，此时函数单调递减，即减区间为[$\frac{1}{2}$，1]，
∵h（x）在区间[$\frac{1}{2}$，m-1]上单调函数，
∴函数h（x）不可能为单调递增函数，
若函数h（x）在区间[$\frac{1}{2}$，m-1]上单调递减函数，
则满足$\frac{1}{2}$＜m-1≤1，
即$\frac{3}{2}$＜m≤2，
即实数m的取值范围是（$\frac{3}{2}$，2]．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数单调性的应用，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．