Question

已知三棱锥A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F分别是直线AC，AD上的点，且

AE

AC

=

AF

AD

=λ．
（1）求二面角B-CD-A平面角的余弦值
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD．

Answer 1

分析：（1）由于AB⊥平面BCD，可得AB⊥CD，及∠BCD=90°，可得CD⊥平面ABC．于是AC⊥CD．可得∠ACD是二面角B-CD-A平面角的平面角．在Rt△BCD，BC=CD=1，可得BD=

2

．在Rt△ABD中，∠ADB=60°．可得AB=BD•tan60°=

6

．利用勾股定理可得AC=

AB2+BC2

=

7

．进而得到cos∠ACB．
（2）由（1）可知：BC⊥平面ACB，可得CD⊥BE．因此当BE⊥AC时，可得BE⊥平面ACD，满足平面BEF⊥ACD．当BE⊥AC时，由射影定理可得AB²=AE•AC，BC²=EC•AC，得到

AE

EC

=

AB2

BC2

=

( 6 )2

12

=6．即可得到

AE

AC

．

解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，
∵∠BCD=90°，∴CD⊥BC．
又AB∩BC=B．∴CD⊥平面ABC．
∴AC⊥CD．
∴∠ACD是二面角B-CD-A平面角的平面角．
在Rt△BCD，BC=CD=1，∴BD=

2

．
在Rt△ABD中，∠ADB=60°．∴AB=BD•tan60°=

6

．
∴AC=

AB2+BC2

=

7

．
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

1

7

=

7

7

．
（2）由（1）可知：BC⊥平面ACB，∴CD⊥BE．
因此当BE⊥AC时，可得BE⊥平面ACD，∴平面BEF⊥ACD．
当BE⊥AC时，由AB²=AE•AC，BC²=EC•AC，
∴

AE

EC

=

AB2

BC2

=

( 6 )2

12

=6．
∴

AE

AC

=

6

7

．

点评：本题考查了线面、面面垂直的判定与性质定理、二面角的平面角、勾股定理、射影定理、平行线分线段成比例定理等基础知识与基本方法，属于难题．