Question

如图，多面体ABCDEFG中，面ABCD为正方形，AE，BF，DG均垂直于平面ABCD，且AB=AE=4，BF=DG=2，M，N分别为AB，BC的中点．
（1）若P为BF的中点，证明NP∥平面EGM；
（2）求三棱锥N-EGM体积．

Answer 1

分析：（1）取AE的中点H，根据面BCF∥面ADGE推出PN∥EG，根据直线与平面的性质定理可知PN∥面EGM；
（2）将三棱锥N-EGM体积转化成V_N-EGM=V_P-EGM=V_G-EMP=V_D-EMP，又AD⊥面ABEF，DC∥AE，再根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答：解：（1）取AE的中点H，由题意知，BF∥AE，BC∥AD
∴面BCF∥面ADGE，
∴FC∥HD∥EG，又PN∥FC，
∴PN∥EG．
∴PN∥面EGM

（2）∵PN∥面EGM，
∴V_N-EGM=V_P-EGM=V_G-EMP=V_D-EMP，
又AD⊥面ABEF，DC⊥AE，
∴VN-EGM=

1

3

AD•S△EMP=

1

3

•4•(10-4-1)=

20

3

．

点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积的公式，属于基础题．