Question

已知

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，

c

=(sinβ-sinα，cosβ-cosα)，0＜α＜β＜π，若＜

a

，

b

＞=

π

3

且

a

⊥

c

，求α的值．

Answer 1

分析：通过

a

与

b

的数量积，推出α，β的关系，然后利用

a

⊥

c

，得到α，β的关系，然后求解α的值即可．

解答：解：cos

π

3

=

a • b

| a || b |

=cos（β-α）
∵0＜β-α＜π
∴β-α=

π

3

a

⊥

c

⇒sin(α+β)=sin2α
∵β=α+

π

3

∴sin（α+β）=sin（2α+

π

3

）=sin2α
⇒sin（2α-

π

3

）=0
0＜α＜β＜π⇒0＜2β＜2π
⇒2α-

π

3

=2(β-

π

3

)-

π

3

=2β-π
⇒-

π

3

＜2α-

π

3

＜π
⇒2α-

π

3

=0⇒α=

π

6

．

点评：本题通过向量的数量积，向量的垂直求出推出角的大小，考查方程思想和计算能力．