Question

设a∈R，f（x）为奇函数，且f(2x)=

a•4x-a-2

4x+1

．
（1）求a的值及f（x）的解析式和值域；
（2）g(x)=log

2

1+x

k

，若x∈[

1

2

，

2

3

]时，log2

1+x

1-x

≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由奇函数的特性f（0）=0，解出a=1可得f（x）的解析式为f（x）=

2x-1

2x+1

．再由指数函数的值域，解关于y的不等式即可求出f（x）的值域；
（2）将原不等式化简，可得log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

对x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立，由此结合对数函数的单调性和定义域，化简得到k²≤1-x²对于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立，可得实数k的取值范围．

解答：解：（1）令t=2x，得f （x）=

a•2x-a-2

2x+1

-------------------------------（1分）
∵f （x）是奇函数，∴f（0）=0，解之可得a=1
∴函数的解析式为f（x）=

2x-1

2x+1

-----------------------------（3分）
∵由y=

2x-1

2x+1

解出2^x=

1+y

1-y

＞0，解之得-1＜y＜1
∴值域为 （-1，1）-------------------------------------------------（6分）
（2）log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

对x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立
即：log2

1+x

1-x

≤

log2 1+x k

log2 2

，
不等式log2

1+x

1-x

≤2log2

1+x

k

对x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立------（8分）
即

1+x 1-x ≤ (1+x)2 k2 k＞0

----①，对于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立
由①，得k²≤1-x²对于x∈[

1

2

，

2

3

]恒成立---------------------------（10分）
∴k²≤1-

4

9

=

5

9

，解之得0＜k≤

5

3

----------------------------------（12分）

点评：本题给出含有指数式的分式型函数，求函数的奇偶性和值域，并依此讨论不等式恒成立时实数k的范围．着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性和函数恒成立问题等知识，属于中档题．