【题目】如图①,已知矩形中,,,为的中点.将沿折起,使得平面平面(如图②),并在图②中回答如下问题:
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)根据图①中数据可利用勾股定理逆定理得,再结合图②中平面平面,利用面面垂直的性质定理可得平面,从而证出;
(2)要求直线与平面所成角,只需求出直线的方向向量与平面的法向量,代入向量的夹角公式求出,设直线与平面所成角为,利用,即可得到结果.
(1)如图①,矩形中,,,为中点,
所以,所以,
由勾股定理逆定理得,
如图②,平面平面,
且平面平面,平面,
所以平面,又平面,
所以.
(2)取的中点,作,因为平面,平面,
所以,又,,所以,,
因为,所以,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
设平面的一个法向量为,
由,得,令,则,.
所以,
所以,
设直线与平面所成角为,则,
所以与平面所成的角的正弦值为.
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【题目】如图,椭圆的离心率,且椭圆C的短轴长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆上的三个动点.
(i)若直线过点D,且点是椭圆的上顶点,求面积的最大值;
(ii)试探究:是否存在是以为中心的等边三角形,若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】齐王有上等,中等,下等马各一匹;田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】某校高三年级有男生105人,女生126人,教师42人,用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查.设其中某项问题的选择只有“同意”,“不同意”两种,且每人都做了一种选择.下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.
同意 | 不同意 | 合计 | |
教师 | 1 | ||
女生 | 4 | ||
男生 | 2 |
(1)请完成此统计表;
(2)试估计高三年级学生“同意”的人数;
(3)从被调查的女生中选取2人进行访谈,求选到的两名学生中,恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率.
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【题目】已知椭圆的离心率为,过点的椭圆的两条切线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在椭圆上是否存在这样的点,过点引抛物线的两条切线,切点分别为,且直线过点?若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标);若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的左,右焦点分别为,该椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,若斜率为的直线与轴,椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧)且,求证:直线过定点;并求出斜率的取值范围.
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【题目】已知动圆过定点,且与直线相切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程;
(2)是否存在直线,使过点(0,1),并与轨迹交于两点,且满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.
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