Question

已知函数f(x)=(x²+ax+2)e^x,(x,a∈R).
(1)当a=0时，求函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)若函数y=f(x)为单调函数，求实数a的取值范围;
(3)当时，求函数f(x)的极小值.

Answer 1

(1) 5ex-y-2e="0" (2) ［-2,2］ (3)

试题分析：f′(x)=e^x［x²+(a+2)x+a+2］
(1)当a=0时，f(x)=(x²+2)e^x,f′(x)=e^x(x²+2x+2),f(1)=3e,
f′(1)=5e,
∴函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.
(2)f′(x)=e^x［x²+(a+2)x+a+2］,
考虑到e^x>0恒成立且x²系数为正.
∴f(x)在R上单调等价于x²+(a+2)x+a+2≥0恒成立.
∴(a+2)²-4(a+2)≤0.
解得-2≤a≤2,即a的取值范围是［-2,2］,
(3)当时，f(x)=,
f′(x)=
令f′(x)=0,得或x=1.
令f′(x)>0,得或x>1.
令f′(x)<0，得
x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表

所以，函数f(x)的极小值为
点评：注意极值与最值的区别和联系：最大值是极值与边界值中最大的函数值，最小值是极值与边界值中最小的函数值