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    设O为△ABC的外心，若x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    =
    0
    ，C为△ABC的内角，则cos2C=
     
    ．（用已知数x，y，z表示）
    分析：由x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    =
    0
    ，移项得x
    OA
    +y
    OB
    =-z
    OC
    ，再平方得：(x
    OA
    +y
    OB
    ) 2=(z
    OC
    ) 2    ，得到 2xy
    OA
    •
    OB
    =2xyR2cos2C=z2R2-（x2+y2）R2，据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍以及向量的数量积得cos2C的值．
    解答：解：设外接圆的半径为R，
    ∵x
    OA
    +y
    OB
    +z
    OC
    =
    0
    ，
    ∴x
    OA
    +y
    OB
    =-z
    OC
    ，
    ∴(x
    OA
    +y
    OB
    ) 2=(z
    OC
    ) 2    ，
    ∴（x2+y2）R2+2xy
    OA
    •
    OB
    =z2R2，
    ∴2xy
    OA
    •
    OB
    =2xyR2cos2C=z2R2-（x2+y2）R2
    ∴cos2C=
    z2-x2-y2
    2xy
    ，
    故答案为：
    z2-x2-y2
    2xy
    ．
    点评：本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设O为△ABC的外心，且3
    OA
    +4
    OB
    +5
    OC
    =
    0
    ，则△ABC的内角C的值为
    π
    4
    π
    4
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设O为△ABC的外心，且3
    OA
    +4
    OB
    +5
    OC
    =
    0
    ，则△ABC中的内角C值为（　　）
    A、
    π
    6
    B、
    π
    4
    C、
    π
    3
    D、
    π
    2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•南通二模）已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为
    		3
    ．
    （1）若AB=2
    		2
    ，求△ABC的另外两条边长；
    （2）设O为△ABC的外心，当BC=
    		21
    时，求
    AO
    •
    BC
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设O为△ABC的外心，OD⊥BC于D，且|
    AB
    |=
    		3
    ，|
    AC
    |=1，则
    AD
    •(
    AB
    -
    AC
    )    的值是（　　）

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